Question

19．已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且$|{QF}|=\frac{5}{4}|{PQ}|$．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x²+（y-1）²=1相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得P和Q点坐标，求得丨QF丨，由题意可知，$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}$×$\frac{8}{p}$即可求得p的值，求得椭圆方程；
（2）设直线方程，代入抛物线方程，由韦达定理x₁x₂=-4，求导，根据导数的几何意义，求得切线方程，联立求得M点坐标，根据点到直线距离公式，求得M到l的距离，利用三角形的面积公式，即可求得△ABM与△CDM的面积之积的最小值．

解答 解：（1）由题意可知P（4，0），Q（4，$\frac{8}{p}$），丨QF丨=$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$，
由$|{QF}|=\frac{5}{4}|{PQ}|$，则$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}$×$\frac{8}{p}$，解得：p=2，
∴抛物线x²=4y；
（2）设l：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx-4=0，
则x₁x₂=-4，
由y=$\frac{1}{4}$x²，求导y′=$\frac{x}{2}$，
直线MA：y-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），即y=$\frac{{x}_{1}}{2}$x-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$，
同理求得MD：y=$\frac{{x}_{2}}{2}$x-$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{1}x}{2}-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}}\\{y=\frac{{x}_{2}x}{2}-\frac{{x}_{2}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2k}\\{y=-1}\end{array}\right.$，则M（2k，-1），
∴M到l的距离d=$\frac{2{k}^{2}+2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
∴△ABM与△CDM的面积之积S_△ABM•S_△CDM=$\frac{1}{4}$丨AB丨丨CD丨•d²，
=$\frac{1}{4}$（丨AF丨-1）（丨DF丨-1）•d²，
=$\frac{1}{4}$y₁y₂d²=$\frac{1}{4}$•$\frac{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}{16}$×d²，
=1+k²≥1，
当且仅当k=0时取等号，
当k=0时，△ABM与△CDM的面积之积的最小值1．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，导数的几何意义，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．