Question

（本小题满分14分）如图椭圆的上顶点为A，左顶点为B, F为右焦点, 过F作平行于AB的直线交椭圆于C、D两点. 作平行四边形OCED, E恰在椭圆上。

（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若平行四边形OCED的面积为, 求椭圆的方程.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

试题分析：解∵焦点为F(c, 0), AB斜率为, 故CD方程为y=(x－c). 于椭圆联立后消去y得2x²－2cx－b²="0." ∵CD的中点为G(), 点E(c, －)在椭圆上,
∴将E(c, －)代入椭圆方程并整理得2c²=a², ∴e =.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知CD的方程为y=(x－c),  b="c," a=c.
与椭圆联立消去y得2x²－2cx－c²=0.
∵平行四边形OCED的面积为S=c|y_C－y_D|=c
=c, ∴c=, a="2," b=. 故椭圆方程为
点评：求离心率关键是找到关于的齐次方程