Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）当四边形面积取最大值时，求的值．

 

Answer 1

（1）；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）确定椭圆方程需要两个独立条件，首先由＝，得，其次利用直线和园相切的条件得，从而可求，进而求得椭圆方程；（2）解析几何中的最值问题，往往要通过选取变量，将目标函数用一个变量表示，进而转化为函数的最值问题处理，本题需要将的面积表示出来，可以表示为和的面积之和，其中，，将直线与椭圆联立，用根与系数的关系将面积用k表示，进而求函数的最大值．

试题解析：（1）由题意知：＝ ∴，∴. 2分

又∵圆与直线相切， ∴，∴， 3分

故所求椭圆C的方程为 4分

（2）设，其中，

将代入椭圆的方程整理得：，

故．① 5分

又点到直线的距离分别为，

．

7分

所以四边形的面积为

9分

， 11分

当，即当时，上式取等号．

所以当四边形面积的最大值时，=2. 12分

考点：1、椭圆的标准方程和简单几何性质；2、函数的最值.