Question

6．定义运算“★”：$\overrightarrow{a}$★$\overrightarrow{b}$=$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}（\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}共线）}\\{\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞}（\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}不共线）}\end{array}\right.$其中cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞表示向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角的余弦，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，3），$\overrightarrow{n}$=（x，2），试求$\overrightarrow{m}$★$\overrightarrow{n}$．

Answer 1

分析 当$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$共线时，由向量共线的坐标表示求出x值，算出数量积，当$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$不共线时，由向量的夹角公式求出cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞，代入新定义得答案．

解答 解：若$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$共线，即$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，则1×2-3x=0，$x=\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{n}$=（x，2）=$（\frac{2}{3}，2）$，此时$\overrightarrow{m}$★$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（1，3）•（$\frac{2}{3}，2$）=1×$\frac{2}{3}+3×2=\frac{20}{3}$；
若$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$不共线，则$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=x+6$，
cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{x+6}{\sqrt{10}•\sqrt{4+{x}^{2}}}$，
此时$\overrightarrow{m}$★$\overrightarrow{n}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞}$=$\sqrt{40+10{x}^{2}}$．
综上，$\overrightarrow{m}$★$\overrightarrow{n}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20}{3}，x=\frac{2}{3}}\\{\sqrt{40+10{x}^{2}}，x≠\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．

点评 本题是新定义题，考查了平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，是基础题．