Question

如图所示：图1是定义在R上的二次函数f(x)的部分图象，图2是函数g(x)＝log_a(x＋b)的部分图象．

(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式；

(2)如果函数y＝g[f(x)]在区间[1，m)上单调递减，求m的取值范围．

Answer 1

 (1)由图1得，二次函数f(x)的顶点坐标为(1,2)，故可设函数f(x)＝a(x－1)²＋2，

又函数f(x)的图象过点(0,0)，故a＝－2，

整理得f(x)＝－2x²＋4x.

由图2得，函数g(x)＝log_a(x＋b)的图象过点(0,0)和(1,1)，

故有

∴g(x)＝log₂(x＋1)(x>－1)．

(2)由(1)得y＝g[f(x)]＝log₂(－2x²＋4x＋1)是由y＝log₂t和t＝－2x²＋4x＋1复合而成的函数，而y＝log₂t在定义域上单调递增，要使函数y＝g[f(x)]在区间[1，m)上单调递减，必须t＝－2x²＋4x＋1在区间[1，m)上单调递减，且有t>0恒成立．

由t＝0得x＝，又t的图象的对称轴为x＝1.

所以满足条件的m的取值范围为1<m≤.