Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且sinA+sinC=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求4sinAcosC的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理把已知的等式化边为角，把C用π-（A+B）表示后整理求得B的值；
（Ⅱ）利用三角函数的积化和差变形，代入角B的值，然后根据A-C的范围得答案．

解答 解：（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，sinA+sinC=$\sqrt{3}$，可得A+C＞90°．
可得2b（sinA+sinC）=$\sqrt{3}$（a+c），
得4RsinB（sinA+AcosC）=2$\sqrt{3}$R（sinA+sinC），
即sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0°＜B＜180°，
∴B=60°；
（Ⅱ）∵B=60°，
∴4sinAcosC=2[sin（A+C）+sin（A-C）]
=2sin60°+2sin（A-C）
=$\sqrt{3}$+2sin（A-C）．
由0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，得
-120°＜A-C＜120°．
∴-1≤sin（A-C）≤1．
-2≤2sin（A-C）≤2．
∴sinAcosC的取值范围是：[$\sqrt{3}$-2，2+$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了解三角形，训练了正弦定理的应用，考查了三角函数的积化和差公式，是中档题．