【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.
(Ⅰ)证明:A=2B
(Ⅱ)若△ABC的面积S= ,求角A的大小.
【答案】证明:(Ⅰ)∵b+c=2acosB, ∴sinB+sinC=2sinAcosB,
∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B)
∵A,B是三角形中的角,
∴B=A﹣B,
∴A=2B;
(Ⅱ)解:∵△ABC的面积S= ,
∴ bcsinA=
,
∴2bcsinA=a2 ,
∴2sinBsinC=sinA=sin2B,
∴sinC=cosB,
∴B+C=90°,或C=B+90°,
∴A=90°或A=45°
【解析】(Ⅰ)利用正弦定理,结合和角的正弦公式,即可证明A=2B (Ⅱ)若△ABC的面积S= ,则
bcsinA=
,结合正弦定理、二倍角公式,即可求角A的大小.
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识,掌握正弦定理:,以及对余弦定理的定义的理解,了解余弦定理:
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【题目】已知直线l过点P(1,1),并与直线l1:x﹣y+3=0和l2:2x+y﹣6=0分别交于点A、B,若线段AB被点P平分. 求:
(1)直线l的方程;
(2)以O为圆心且被l截得的弦长为 的圆的方程.
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【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )(x∈R)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式并求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)求函数f(x)的最小值并指出函数f(x)取最小值时相应的x的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足| |=|
|=
=2,则点集{P|
=x
+y
,|x|+|y|≤1,x,y∈R}所表示的区域的面积是 .
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【题目】已知以点A(﹣1,2)为圆心的圆与直线m:x+2y+7=0相切,过点B(﹣2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点
(1)求圆A的方程.
(2)当|MN|=2 时,求直线l方程.
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【题目】已知f(x)是定义在区间[﹣1,1]上的奇函数,且f(﹣1)=1,若m,n∈[﹣1,1],m+n≠0时,有 <0.
(1)解不等式f(x+ )<f(1﹣x);
(2)若f(x)≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,已知圆C1:(x+3)2+(y﹣1)2=4和圆C2:(x﹣4)2+(y﹣5)2=4
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2 ,求直线l的方程
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2 , 它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,求所有满足条件的点P的坐标.
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