Question

已知函数y=f（x）的定义域为A，若常数C满足：对任意正实数?，总存在x∈A，使得0＜|f（x）-C|＜?成立，则称C为函数y=f（x）的“渐近值”．现有下列三个函数：①f（x）=

x

x-1

；②f（x）=

1，x为有理数 0，x为无理数

；③f（x）=

sinx

x

．其中以数“1”为渐近值的函数个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：函数的值域

专题：新定义

分析：根据函数y=f（x）的“渐近值”的定义，可以判断，常数C应该是当x→x₀或∞时的函数极限值，注意只能无限趋近C，而不能等于C．

解答： 解：据函数y=f（x）的“渐近值”的定义，可知常数C=1应该是函数f（x）当x→x₀或∞时的函数极限值，
对于①，当x≠0时，函数式可变为y=

1

1- 1 x

，当x→+∞时，

1

x

→0，所以y→

1

1-0

=1，所以函数①正确；
对于②，当x是有理数时，||f（x）-1|=0，不满足0＜|f（x）-C|＜?，所以②不是；
对于③，当x→0时，

sinx

x

→1，所以③的近似值是1．
故选C

点评：本题主要考查新定义，属于中档题．