Question

4．如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角．
（1）证明：tan$\frac{A}{2}$=$\frac{1-cosA}{sinA}$；
（2）已知AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，
①若A+C=180°，求tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$+tan$\frac{C}{2}$+tan$\frac{D}{2}$的值；
②求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．
（2）①通过A+C=180°，得C=180°-A，D=180°-B，利用（1）化简tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$+tan$\frac{C}{2}$+tan$\frac{D}{2}$=$\frac{2}{sinA}+\frac{2}{sinB}$，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出sinA，连结AC，求出sinB，然后求解即可．
②连接AC，利用余弦定理可得1-9cosB=-10cosD，利用三角形面积公式可得S=9sinB+10sinD，平方相加即可解得S²的最大值，进而得解四边形ABCD面积的最大值．

解答 （本题满分为16分）
解：（1）右=$\frac{1-cosA}{sinA}$=$\frac{1-（1-2si{n}^{2}\frac{A}{2}）}{2sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}}$=$\frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{A}{2}}$=tan$\frac{A}{2}$=左．…（2分）
（2）①原式$\frac{1-cosA}{sinA}$+$\frac{1-cosB}{sinB}$+$\frac{1-cosC}{sinC}$+$\frac{1-cosD}{sinD}$=$\frac{2}{sinA}+\frac{2}{sinB}$，
连接AC，在△ACD和△ACB中
∴AB²+BC²-2AB•BCcosB=AD²+DC²-2AD•DCcosD，
∴36+9-2×3×3×cosB=25+16+2×5×4×cosB，
∴4=76cosB，∴cosB=$\frac{1}{19}$，∵0＜B＜π，∴sinB=$\frac{6\sqrt{10}}{19}$．…（4分）
连接BD，在△ABD和△DBC中
∴AD²+AB²-2AD•AB•cosA=CD²+CB²-2CD•CB•cosC，
∴cosA=$\frac{3}{7}$，∵0＜A＜π，∴sinA=$\frac{2\sqrt{10}}{7}$；…（6分）
∴原式=$\frac{2}{sinA}+\frac{2}{sinB}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．…（8分）
②在△ACB和△ACD中，由AB²+BC²-2AB•BCcosB=AC²=AD²+DC²-2AD•DCcosD，
∴36+9-2×6×3×cosB=25+16-2×5×4×cosD，
∴1-9cosB=-10cosD，…（10分）
∵S=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB+$\frac{1}{2}AD•DC•sinD$=$\frac{1}{2}×6×3×sinB+\frac{1}{2}×5×4×sinD$=9sinB+10sinD，…（12分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-9cosB=-10cosD}\\{S-9sinB=10sinD}\end{array}\right.$，平方相加得1+S²=81+100-180cos（B+D），
所以S²=180-180cos（B+D），当且仅当B+D=π时，S²取最大值360，
所以面积的最大值为6$\sqrt{10}$．…（16分）

点评 本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理．简单的三角恒等变换，考查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用，属于中档题．