Question

20．已知-π＜x＜0，sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，
（1）求sinx-cosx的值；
（2）求$\frac{{2{{sin}^2}x+2sinx•cosx}}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据-π＜x＜0，判断sinx、cosx的值的正负，sin²x+cos²x=1，即可计算．
（2）根据sinx、cosx的值带入，即可求解．

解答 解：∵-π＜x＜0，
当$-π＜x≤-\frac{π}{2}$时，
可知sinx＜0、cosx＜0．
∴sinx+cosx=$\frac{1}{5}$不成立．
当$-\frac{π}{2}$＜x＜0时，
可知sinx＜0、cosx＞0．
∵sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，sin²x+cos²x=1．
∴sinx=$-\frac{3}{5}$，cosx=$\frac{4}{5}$．tanx=$\frac{sinx}{cosx}=-\frac{3}{4}$．
（1）sinx-cosx=$-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}=-\frac{7}{5}$．
（2）$\frac{{2{{sin}^2}x+2sinx•cosx}}{1-tanx}$=$\frac{2×\frac{9}{25}-2×\frac{3}{5}×\frac{4}{5}}{1+\frac{3}{4}}$=$-\frac{24}{175}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．