Question

8．已知△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等．若$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$成等差数列．
（Ⅰ）比较$\frac{b}{a}$与$\frac{c}{b}$的大小，并证明你的结论．
（Ⅱ）求证：B不可能是钝角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件可得$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$＞2$\sqrt{\frac{1}{ac}}$，可得$\frac{b}{a}$＜$\frac{c}{b}$．
（2）由条件得到b²＜ac，利用基本不等式变形，可得出cosB的范围，利用余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，根据B为三角形的内角，即可求出B的范围．

解答 （Ⅰ）解：∵△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等，$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$成等差数列，
∴$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$＞2$\sqrt{\frac{1}{ac}}$．
∴b²＜ac，
∴$\frac{b}{a}$＜$\frac{c}{b}$．
（Ⅱ）证明：∵b²＜ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$＞$\frac{1}{2}$，
∴B∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴B不可能是钝角．

点评 此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及性质是解本题的关键，属于中档题．