Question

16．设经过抛物线y²=8x焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若AB中点M到抛物线准线的距离为8，则l的斜率为±1．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．由题意可得x₀+2=8，由${y}_{1}^{2}=8{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}$=8x₂，相减可得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），再利用中点坐标公式与斜率计算公式代入解出即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．
则$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}={y}_{0}$，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x₀，x₀+2=8，解得x₀=6．
由${y}_{1}^{2}=8{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}$=8x₂，相减可得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），
∴2y₀k=8，
∴${y}_{0}×\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=4，
解得y₀=±4，
k=$\frac{±4}{6-2}$=±1．
故答案为：±1．

点评 本题考查了直线与抛物线相交弦长问题、中点坐标公式与斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．