Question

已知函数f（x）=sin²x+asinx+

a2+b-1

a

，设a≥2，若存在x∈R，使得f（x）≤0，求a²+b²-8a的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式,三角函数的最值

专题：不等式的解法及应用

分析：函数f（x）=sin²x+asinx+

a2+b-1

a

=(sinx+

a

2

)2-

a2

4

+

a2+b-1

a

，由于a≥2，利用二次函数的单调性可得当sinx=-1时，函数f（x）取得最小值1-a+

a2+b-1

a

=

a+b-1

a

．由于存在x∈R，使得f（x）≤0，可得

a+b-1

a

≤0，（a≥2），由于a²+b²-8a=（a-4）²+b²-16，求出点P（4，0）到直线x+y=1的距离d．可得a²+b²-8a=（a-4）²+b²-16≥d²-16，即可得出．

解答： 解：函数f（x）=sin²x+asinx+

a2+b-1

a

=(sinx+

a

2

)2-

a2

4

+

a2+b-1

a

，
∵a≥2，∴-

a

2

≤-1．
∴当sinx=-1时，函数f（x）取得最小值1-a+

a2+b-1

a

=

a+b-1

a

，
∵存在x∈R，使得f（x）≤0，
∴

a+b-1

a

≤0，
即a+b≤1，（a≥2）．
∴a²+b²-8a=（a-4）²+b²-16，
点P（4，0）到直线x+y=1的距离d=

|4-0-1|

2

=

3 2

2

．
∴a²+b²-8a=（a-4）²+b²-16≥d²-16=-

23

2

，
∴a²+b²-8a的最小值是-

23

2

．

点评：本题考查了二次函数的单调性、三角函数的只值域、点到直线的距离公式公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．