Question

一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x²=2y（0≤y≤20）．在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围是（　　）

• A、0＜r≤1
• B、0＜r＜1
• C、0＜r≤2
• D、0＜r＜2

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设小球圆心（0，y₀），抛物线上点（x，y），求得点到圆心距离平方的表达式，进而根据若r²最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底，需1-y₀≥0，进而求得r的范围．

解答： 解：设小球圆心（0，y₀），抛物线上点（x，y），则
点到圆心距离平方r²=x²+（y-y₀）²=2y+（y-y₀）²=r²+2（1-y₀）y+y₀²．
若r²最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底，故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧，
所以1-y₀≥0，所以0＜y₀≤1，
所以0＜r≤1．
故选A．

点评：本题主要考查了抛物线的应用，考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力，考查二次函数的性质，属于中档题．