Question

2．设函数f（x）=lnx-x²+ax．
（1）若函数f（x）在（0，e]上单调递增，试求a的取值范围；
（2）设函数f（x）在点C（1，f（1））处的切线为l，证明：函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到$a≥2x-\frac{1}{x}$在（0，e]上恒成立，即$a≥{（{2x-\frac{1}{x}}）_{max}}$，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）求出函数的导数，得到切线方程，结合函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）f（x）=lnx-x²+ax定义域为（0，+∞），…（1分）
因为f（x）在（0，e]上单调递增，
所以$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+a≥0$在（0，e]上恒成立…（2分）
所以$a≥2x-\frac{1}{x}$在（0，e]上恒成立，即$a≥{（{2x-\frac{1}{x}}）_{max}}$…（3分）
而$2x-\frac{1}{x}$在（0，e]上单调递增，所以${（{2x-\frac{1}{x}}）_{max}}=2e-\frac{1}{e}$…（5分）
所以$a≥2e-\frac{1}{e}$…（6分）
（2）因为f'（1）=1-2+a=a-1，…（7分）
所以切点C（1，a-1），故切线l的方程为y-（a-1）=（a-1）（x-1），
即y=（a-1）（x-1）+a-1=（a-1）x…（8分）
令g（x）=f（x）-（a-1）x，则g（x）=lnx-x²+x…（9分）
则$g'（x）=\frac{1}{x}-2x+1=\frac{{-2（{x-1}）（{x+\frac{1}{2}}）}}{x}$…（10分）
所以当x变化时，g'（x），g（x）的关系如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

…（11分）
因为g（x）≤g（1）=0，所以函数f（x）图象上不存在位于直线l上方的点…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．