Question

设f（x）=lg（x+

x3+1

）+sinx，当0≤θ≤

π

2

时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，1）
• B、（-∞，0）
• C、（-∞，

  1

  2

  ）
• D、（0，1）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：由函数f（x）=lg（x+

x3+1

）+sinx，可知f（x）为奇函数，增函数，然后可得f（msinθ）＞f（m-1），从而得出msinθ＞m-1，根据sinθ∈[0，1]，即可求解．

解答： 解：由函数f（x）=lg（x+

x3+1

）+sinx，可知f（x）为奇函数，
当0≤θ≤

π

2

时，f（x）=lg（x+

x3+1

）+sinx是增函数；
∵f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，即f（msinθ）＞f（m-1）恒成立，
∴msinθ＞m-1，令g（m）=（sinθ-1）m+1，
当0≤θ≤

π

2

时，msinθ＞m-1恒成立，等价于g（m）=（sinθ-1）m+1＞0恒成立．
∵0≤θ≤

π

2

，
∴sinθ∈[0，1]，
∴sinθ-1≤0，
∴当θ=0时，（sinθ-1）m+1＞0恒成立，①
当θ=

π

2

时，（sinθ-1）m+1＞0恒成立，②
由①②得：m＜1．
故选：A．

点评：本题考查了函数恒成立的问题，难点在于判断函数f（x）=lg（x+

x3+1

）+sinx为奇函数，增函数，属于难题．