Question

19．如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD中，E、F分别是PD、AB的中点，且PA=AB=1，BC=2，
（1）求CD与AE所成的角大小；
（2）求证：直线AE∥平面PFC；
（3）求F到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）底面ABCD是矩形，可得CD⊥AD．利用线面垂直的性质定理可得：PA⊥CD．再利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明．
（2）取PC的中点M，连接EM，FM．利用三角形中位线定理可得ME$\underset{∥}{=}$=$\frac{1}{2}$CD，又AF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，可得AF$\underset{∥}{=}$EM，再利用平行四边形的判定与性质定理可得AE∥FM，利用线面平行的判定定理即可证明AE∥平面PFC．
（3）PA⊥面ABCD，CB⊥AB，可得CB⊥PB．设F到平面PBC的距离为h．利用V_F-PBC=V_P-BFC，即$\frac{1}{3}×$S_△PBC•h=$\frac{1}{3}×$S_△BCF×PA．即可得出．

解答 （1）解：∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD．
∵PA⊥面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，AE?平面PAD中，
∴CD⊥AE，
∴CD与AE所成的角为90^°．
（2）证明：取PC的中点M，连接EM，FM．
又E点为PD的中点，∴ME$\underset{∥}{=}$=$\frac{1}{2}$CD，
又AF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，∴AF$\underset{∥}{=}$EM，
∴四边形AFME是平行四边形，
∴AE∥FM，又AE?平面PFC，FM?平面PFC，
∴直线AE∥平面PFC．
（3）解：∵PA⊥面ABCD，CB⊥AB，CB?平面ABCD，
∴CB⊥PB．
S_△PBC=$\frac{1}{2}PB•CB$=$\frac{1}{2}×\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$×2=$\sqrt{2}$，S_△BCF=$\frac{1}{2}×BC×BF$=$\frac{1}{2}×2×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
设F到平面PBC的距离为h．
∵V_F-PBC=V_P-BFC，
∴$\frac{1}{3}×$S_△PBC•h=$\frac{1}{3}×$S_△BCF×PA．
∴h=$\frac{\frac{1}{2}×1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了空间位置关系与空间距离、线面平行与垂直的判定及其性质定理、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、三垂线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．