Question

已知函数f（x），x∈R，对任意x₁、x₂∈R，均有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），又x＞0时，f（x）＜0，f（1）=a，试判断函数f（x）在[-3，3]上是否有最值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件，x₁=x₂=0得到f（0）=0，x₁+x₂=0，得到f（-x₁）=-f（x₁），再令x₁＜x₂，由条件得到f（x）在R上是单调递减，从而函数f（x）在[-3，3]上是单调递减的，得到f（-3）为最大值，f（3）为最小值，讨论a=0，a＜0，a＞0判断有无最值即可．

解答： 解：∵对任意x₁、x₂∈R，均有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴令x₁=x₂=0，则f（0）=2f（0），f（0）=0，
∴令x₁+x₂=0，则f（0）=f（x₁）+f（-x₁），即f（-x₁）=-f（x₁），
令x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0，∴f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）在R上是单调递减，
∵f（1）=a，∴f（2）=2f（1）=2a，f（3）=f（1）+f（2）=3a，f（-3）=-3a，
∴函数f（x）在[-3，3]上是单调递减的，
∴当a≥0时，函数无最值；当a＜0时，f（-3）为最大值，且为-3a；f（3）为最小值，且为3a．

点评：本题主要考查解决抽象函数的常用方法：赋值，同时考查函数的单调性和应用，求函数的最值．属于中档题．