Question

设函数f（x）=

ax2+1

bx

（a，b∈Z），满足f（1）=2，f（2）=3．
（1）求ab的值；
（2）当x＜0时，判断f（x）的单调性并证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）分别代入构造关于a，b的方程组，解得即可．
（2）利用导数来判断和证明函数的单调性．

解答： 解：（1）∵f（x）=

ax2+1

bx

（a，b∈Z），满足f（1）=2，f（2）=3．
∴

a+1

b

=2，

4a+1

2b

=3，
解得a=2，b=

3

2

，
∴ab=2×

3

2

=3，
（2）由（1）得f（ x）=

4x2+2

3x

=

4

3

x+

2

3x

，
∴f′（x）=

4

3

-

2

3x2

=

2(x- 2 2 )(x+ 2 2 )

3x2

，
令f′（x）=0，解得x=

2

2

，或x=-

2

2

，
当f′（x）＞0，得x＞

2

2

，或x＜-

2

2

，则函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，得-

2

2

＜x＜

2

2

，则函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）在（-∞，-

2

2

）上单调递增，在[-

2

2

，0）上单调递减．

点评：本题主要考查了函数导数和函数单调性的关系，属于基础题．