Question

13．已知函数f（x）=ax-lnx．
（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；
（2）对?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x-x²），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求出切线方程，即可求切点的横坐标；
（2）对?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x-x²），化为ax²-ax-lnx≥0对?x∈[1，+∞）恒成立，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）设切点为（x₀，ax₀-lnx₀），∴$k=f'（{x_0}）=a-\frac{1}{x_0}$，
直线的切线方程为y-（ax₀-lnx₀）=（a-$\frac{1}{{x}_{0}}$）（x-x₀），
又切线过原点-ax₀+lnx₀=-ax₀+1，
所以lnx₀=1，解得x₀=e，所以切点的横坐标为e．（4分）
（2）因为不等式ax-lnx≥a（2x-x²）对?x∈[1，+∞）恒成立，
所以ax²-ax-lnx≥0对?x∈[1，+∞）恒成立．
设g（x）=ax²-ax-lnx，g′（x）=2ax-a-$\frac{1}{x}$．
①当a≤0时，∵$g'（x）=a（2x-1）-\frac{1}{x}＜0$，∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，
即g（x）≤g（1）=0，∴a≤0不符合题意．
②当a＞0时，$g'（x）=\frac{{2a{x^2}-ax-1}}{x}$．设$h（x）=2a{x^2}-ax-1=2a{（x-\frac{1}{4}）^2}-\frac{a}{8}-1$，
在[1，+∞）上单调递增，即a≥1．
（ i）当a≥1时，由h（x）≥0，得g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
即g（x）≥g（1）=0，∴a≥1符合题意；
（ ii）当0＜a＜1时，∵a-1＜0，∴?x₀∈[1，+∞）使得h（x₀）=0，
则g（x）在[1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，∴g（x₀）＜g（1）=0，则0＜a＜1不合题意．
综上所述，a≥1．（12分）

点评 本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．