【题目】已知函数f(x)=2x-.
(1)判断函数的奇偶性,并证明;
(2)用单调性的定义证明函数f(x)=2x-在(0,+∞)上单调递增.
【答案】(1)函数f(x)=2x-是奇函数.
证明如下:易知f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
因为f(-x)=2(-x)-=-2x+
=-
=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=2x2--
=2(x2-x1)+5
=(x2-x1)
,
因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)=2x-在(0,+∞)上单调递增.
【解析】
(1)由定义判断与
的关系,即可判断函数奇偶性;
(2)由定义证明单调性,假设定义域内的两自变量的值,作差求
的符号,进而判断单调性.
(1)函数f(x)=2x-是奇函数.
证明如下:易知f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
因为f(-x)=2(-x)-=-2x+
=-
=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
则f(x2)-f(x1)
=2x2--
=2(x2-x1)+5
=(x2-x1),
因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)=2x-在(0,+∞)上单调递增.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的极坐标方程与
的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为
,
与
相交于
两点,求
的面积.
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【题目】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数: ,其中
是仪器的月产量.(注:总收益=总成本+利润)
(1)将利润表示为月产量
的函数;
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?
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【题目】李冶(1192-1279),真定栾城(今属河北石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:求圆的直径,正方形的边长等,其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为亩,若方田的四边到水池的最近距离均为二十步,则圆池直径和方田的边长分别是(注:
平方步为
亩,圆周率按
近似计算)
A.步、
步B.
步、
步C.
步、
步D.
步、
步
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【题目】在平面直角坐标系中,定长为3的线段
两端点
、
分别在
轴,
轴上滑动,
在线段
上,且
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)设点是轨迹
上一点,从原点
向圆
作两条切线分别与轨迹
交于点
,
,直线
,
的斜率分别记为
,
.
①求证:;
②求的最大值.
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【题目】如下图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
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【题目】设函数,则下列结论错误的是( )
A. f(x)的一个周期为-2π
B. y=f(x)的图象关于直线x=对称
C. f(x+π)的一个零点为x=
D. f(x)在单调递减
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