Question

7．已知圆C：x²+y²=r²具有如下性质：若M，N是圆C上关于原点对称的两个点，点P是圆C上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在时，记为k_PM，k_PN，则k_PM与k_PN之积是一个与点P的位置无关的定值．
利用类比思想，试对椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$写出具有类似特征的性质，并加以证明．

Answer 1

分析 先类比得出结论，再进行证明即可．

解答 解：性质如下：若M，N是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上关于原点对称的两个点，点P是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在时，记为k_PM，k_PN，则k_PM与k_PN之积是与点P的位置无关的定值． …（4分）
证明：M（m，n），N（-m，-n），P（x₀，y₀）．
则${k_{PM}}•{k_{PN}}=\frac{{{y_0}+n}}{{{x_0}+m}}•\frac{{{y_0}-n}}{{{x_0}-m}}=\frac{{{y_0}^2-{n^2}}}{{{x_0}^2-{m^2}}}$，由点均在椭圆上，${y_0}^2=-\frac{b^2}{a^2}{x_0}^2$，${n^2}=-\frac{b^2}{a^2}{m^2}$
化简得${k_{PM}}•{k_{PN}}=-\frac{b^2}{a^2}$．  …（12分）

点评 本题考查类比思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．