Question

【题目】若存在两个正实数m、n，使得等式a（lnn﹣lnm）（4em﹣2n）=3m成立（其中e为自然对数的底数），则实数a的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，0）
B.（0， ]
C.[ ，+∞）
D.（﹣∞，0）∪[ ，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由3m+a（2n﹣4em）（lnn﹣lnm）=0，

得3m+2a（n﹣2em）ln =0，

即3+2a（ ﹣2e）ln =0，

即设t= ，则t＞0，

则条件等价为3+2a（t﹣2e）lnt=0，

即（t﹣2e）lnt=﹣ 有解，

设g（t）=（t﹣2e）lnt，

g′（t）=lnt+1﹣ 为增函数，

∵g′（e）=lne+1﹣ =1+1﹣2=0，

∴当t＞e时，g′（t）＞0，

当0＜t＜e时，g′（t）＜0，

即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，

即g（t）≥g（e）=﹣e，

若（t﹣2e）lnt=﹣ 有解，

则﹣ ≥﹣e，即 ≤e，

则a＜0或a≥ ，

故实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪[ ，+∞）．

故选：D．