【题目】已知☉O:x2+y2=1和定点A(2,1),由☉O外一点P(a,b)向☉O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.
(1)求实数a,b间满足的等量关系.
(2)求线段PQ长的最小值.
(3)若以P为圆心所作的☉P与☉O有公共点,试求半径取最小值时☉P的方程.
【答案】(1) 2a+b-3= (2) (3) (x-
)2+(y-
)2=(
-1)2
【解析】(1)连接OP,
∵Q为切点,
∴PQ⊥OQ,
由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2.
又由已知|PQ|=|PA|,故|PQ|2=|PA|2.
即(a2+b2)-12=(a-2)2+(b-1)2.
化简得实数a,b间满足的等量关系为:2a+b-3=0.
(2)方法一:由2a+b-3=0,得b=-2a+3.
|PQ|==
==
.
故当a=时,|PQ|min=
.即线段PQ长的最小值为
.
方法二:由(1)知,点P在直线l:2x+y-3=0上.
∴|PQ|min=|PA|min,即求点A到直线l的距离.
∴|PQ|min==
.
(3)设☉P的半径为R,
∵☉P与☉O有公共点,☉O的半径为1,
∴|R-1|≤|OP|≤R+1.
即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1.
而|OP|==
=,
故当a=时,|OP|min=
.
此时,b=-2a+3=,Rmin=
-1.
得半径取最小值时☉P的方程为(x-)2+(y-
)2=(
-1)2.
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【题目】已知函数;
(1)若函数在
上为增函数,求正实数
的取值范围;
(2)当时,求函数
在
上的最值;
(3)当时,对大于1的任意正整数
,试比较
与
的大小关系.
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【题目】下列函数f(x)中,满足“任意x1 , x2∈(0,+∞),且x1≠x2 , 都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0”的是( )
A.f(x)= ﹣x
B.f(x)=x3
C.f(x)=ln x
D.f(x)=2x
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【题目】某校从高一年级随机抽取了名学生第一学期的数学学期综合成绩和物理学期综合成绩.
列表如下:
学生序号 | ||||||||||
数学学期综合成绩 | ||||||||||
物理学期综合成绩 | ||||||||||
学生序号 | ||||||||||
数学学期综合成绩 | ||||||||||
物理学期综合成绩 |
规定:综合成绩不低于分者为优秀,低于
分为不优秀.
对优秀赋分,对不优秀赋分
,从
名学生中随机抽取
名学生,若用
表示这
名学生两科赋分的和,求
的分布列和数学期望;
根据这次抽查数据,列出列联表,能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为物理成绩与数学成绩有关?
附: ,其中
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【题目】已知a>0且满足不等式22a+1>25a﹣2 .
(1)求实数a的取值范围.
(2)求不等式loga(3x+1)<loga(7﹣5x).
(3)若函数y=loga(2x﹣1)在区间[1,3]有最小值为﹣2,求实数a值.
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【题目】选修:坐标系与参数方程选讲.
在平面直角坐标系中,曲线
(
为参数,实数
),曲线
(
为参数,实数
). 在以
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
与
交于
两点,与
交于
两点. 当
时,
;当
时,
.
(1)求的值; (2)求
的最大值.
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【题目】设函数是定义在
上的函数,并且满足下面三个条件:①对任意正数
,都有
;②当
时,
;③
.
(1)求,
的值;
(2)证明在
上是减函数;
(3)如果不等式成立,求
的取值范围.
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