Question

已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，都有f（x+2）=2f（x）；③当x∈[-1，1]时f（x）=-|x|+1．则方程f（x）=log₄|x|在区间[-7，7]内的解个数是（　　）

• A、10
• B、9
• C、8
• D、12

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令-3≤x≤-1则-1≤x+2≤1，由f（x+2）=2f（x），求出f（x），同理求出-5≤x≤-3、-7≤x≤-5、1≤x≤3、3≤x≤5、5≤x≤7的函数f（x）的解析式，并画出图象，再画出y=log₄|x|的图象，观察得出交点个数，即为方程解的个数．

解答： 解：令-3≤x≤-1则-1≤x+2≤1，
∵f（x+2）=2f（x），∴f（x）=

1

2

（1-|x+2|）（-3≤x≤-1）①
令-5≤x≤-3则-1≤x+4≤1，f（x+4）=1-|x+4|，又f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），
∴f（x）=

1

4

（1-|x+4|）（-5≤x≤-3）②
则-7≤x≤-5时，f（x）=

1

8

（1-|x+6|）③
当1≤x≤3时，-1≤x-2≤1，f（x-2）=1-|x-2|
又f（x-2）=

1

2

f（x），即f（x）=2（1-|x-2|），
同理3≤x≤5时，
f（x）=4（1-|x-4|）④
当5≤x≤7时，f（x）=8（1-|x-6|）⑤
如图所示f（x）的图象，
再画出y=log₄|x|的图象，观察得出交点数为8，
即方程f（x）=log₄|x|在区间[-7，7]内的解个数是8．
故选：C．

点评：本题考查函数的解析式的求法，函数的零点个数，以及函数的图象的画法，考查数形结合的思想方法．