Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．若双曲线上存在点P使

sin∠PF1F2

sin∠PF2F1

=

a

c

，则该双曲线的离心率的取值范围为（　　）

• A、（1，

  2

  ）
• B、（1，2）
• C、（1，

  5 +1

  2

  ）
• D、（1，

  2

  +1）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线的定义与几何性质，结合正弦定理，得e=

c

a

=1+

2a

|PF2|

；
由|PF₂|＞c-a，得e＜1+

2

e-1

，结合e＞1，求出e的取值范围．

解答： 解：由双曲线的定义与几何性质以及正弦定理得，
e=

c

a

=

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

=

|PF1|

|PF2|

=

2a+|PF2|

|PF2|

=1+

2a

|PF2|

；
∵|PF₂|＞c-a，即e＜1+

2

e-1

，∴e²-2e-1＜0；
又∵e＞1，∴1＜e＜

2

+1；
∴离心率e的取值范围是（1，

2

+1）．
故选：D．

点评：本题考查了双曲线的定义与性质的应用问题，也考查了正弦定理的应用问题，解题时可以结合图形进行解答问题，是基础题．