Question

（本小题12分）已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点.

（1）求椭圆和抛物线的标准方程；

（2）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线，，交抛物线于点，，交抛物线于点，，求的最小值.

Answer 1

（1）椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程为；

（2）有最小值.

【解析】

试题分析：（1）由题意得，，从而，即可得椭圆的标准方程为，∴椭圆右顶点的坐标为，即抛物线的焦点坐标为，∴，，抛物线的标准方程为；

（2）设的方程：，的方程：，，，，，注意到，且它们交于点，∴可将作如下变形：

，这样先将用，，，表示出来，再利用韦达定理用表示，再求其最小值.

试题解析：（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，则由题意得，，∴，，∴椭圆的标准方程为，∴右顶点的坐标为，设抛物线的标准方程为，∴，，∴抛物线的标准方程为；

（2）设的方程：，的方程：，，，，，由，消去得：，

∴，，，同理，，∴

，

当且仅当，即时，有最小值.

考点：1.椭圆的标准方程，抛物线的标准方程；2.平面向量的数量积；3.直线与抛物线的位置关系.

考点分析： 考点1：平面向量的数量积 试题属性

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