Question

16．若函数f（x）=ae^x-x+1有零点，则实数a的最大值是$\frac{1}{{e}^{2}}$．

Answer 1

分析 令f（x）=0，可得a=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，令g（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，求出函数的最大值，可得实数a的最大值．

解答 解：f（x）=ae^x-x+1=0，
则a=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
令g（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，
∴g（x）在（-∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减，
故当x=2时，g（x）取最大值$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$，
即实数a的最大值是$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故答案为：$\frac{1}{{e}^{2}}$

点评 本题考查的知识点是函数的零点，函数的值域，函数的最值，难度中档．