Question

已知函数f（x）=（x-1）²+alnx有两个极值点x₁，x₂且x₁＜x₂
（Ⅰ）求实数a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：f（x₂）＞

1-2ln2

4

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求f′（x），根据已知条件知方程f′（x）=0有两个不同实数根，这样即可求得a的范围，实根x₁，x₂将区间（0，+∞）分成几个区间，判断f′（x）在各自区间上的符号，即可判断出函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求f（x₂），确定x₂的范围(

1

2

，1)，f（x₂）便表示关于x₂的函数，求f′（x₂），判断函数f（x₂）在(

1

2

，1)上的单调性，根据单调性求f（x₂）的范围，即可证明本问．

解答： 解：（Ⅰ）由题设知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

2x2-2x+a

x

；
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂且x₁＜x₂；
∴f′（x）=0有两个不同的根x₁，x₂；
∴2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，即a＜

1

2

，且x1=

1- 1-2a

2

，x2=

1+ 1-2a

2

又x₁＞0，∴a＞0；
∴a的取值范围是(0，

1

2

)；
当0＜x＜x₁或x＞x₂时，f′（x）＞0；当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减；
（Ⅱ）由（Ⅰ）Ⅰx1+x2=1，x1x2=

a

2

，∴a=2x₁x₂=2x₂（1-x₂）；
∴f（x₂）=(x2-1)2+alnx2=(x2-1)2+2x2(1-x2)lnx₂(

1

2

＜x2＜1)；
∴f′（x₂）=2（x₂-1）+2[（1-2x₂）lnx₂+x2(1-x2)

1

x2

]=2（1-2x₂）lnx₂＞0；
∴函数f（x₂）在(

1

2

，1)单调递增，∴f(x2)＞f(

1

2

)=

1-2ln2

4

．

点评：考查函数导数的方程f′（x）=0实数根的个数与极值点个数的关系，一元二次不等式的解，根据导数符号判断函数单调性，根据单调性求函数值的范围的方法．