Question

19．若函数y=log_a（1-3ax）（a＞0，a≠1）在区间（0，2）上是单调增函数，则常数a的取值范围是（0，$\frac{1}{6}$]．

Answer 1

分析 根据函数h（x）=1-3ax在区间（0，2）上是减函数，而y=log_ah（x）=log_a（1-3ax）在区间（0，2）上是增函数，可得0＜a＜1，且t=1-3ax在区间（0，2）上大于零．由$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{1-6a≥0}\end{array}\right.$，即可求得a的范围．

解答 解：∵由a＞0，a≠1，
∴函数h（x）=1-3ax在区间（0，2）上是单调减函数，
而y=log_ah（x）=log_a（1-3ax）在区间（0，2）上是单调增函数，
∴0＜a＜1，且h（x）=1-3ax在区间（0，2）上大于等于零，
故有$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{1-6a≥0}\end{array}\right.$，解得0＜a≤$\frac{1}{6}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{6}$]．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的性质，考查转化的数学思想，属于基础题．