Question

7．已知z是复数，z+2i和$\frac{z}{2-i}$均为实数（i为虚数单位）．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）求$\frac{z}{1+i}$的模．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设z=a+bi，分别代入z+2i和$\frac{z}{2-i}$，化简后由虚部为0求得b，a的值，则复数z可求；
（Ⅱ）把z代入$\frac{z}{1+i}$，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）设z=a+bi，∴z+2i=a+（b+2）i，
由a+（b+2）i为实数，可得b=-2，
又∵$\frac{a-2i}{2-i}=\frac{2a+2+（a-4）i}{5}$为实数，∴a=4，
则z=4-2i；
（Ⅱ）$\frac{z}{1+i}=\frac{4-2i}{1+i}=1-3i$，
∴$\frac{z}{1+i}$的模为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，训练了复数模的求法，是基础题．