Question

已知函数f（x）=

ax2-2x-1，x≥0 x2+bx+c，x＜0

是偶函数，若方程f（x）-t=0有四个不同的实数解，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据偶函数的性质建立方程关系，即可求出a，b，c的值，根据解析式画出函数图象，然后利用数形结合即可的结论．

解答： 解：∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
若x＜0，则-x＞0，
此时f（-x）=f（x），即ax²+2x-1=x²+bx+c，
即a=1，b=2，c=-1，
则f(x)=

x2-2x-1，x≥0 x2+2x-1，x＜0

作出函数f（x）的图象如图：
由图象可知当直线y=t经过点（0，-1）时，此时两个函数有3个交点，此时t=-1，
当直线y=t经过点（0，-2）时，此时两个函数有2个交点，此时t=-2，
由图得，当直线y=t处在直线y=-2和直线y=-1之间时，两个函数图象有四个交点，
则实数t的取值范围是：（-2，-1），
故答案为：（-2，-1）．

点评：本题主要考查函数零点个数的问题，利用函数的奇偶性，求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想，综合性较强．