Question

10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E，F分别是BC，PA的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面PED；
（Ⅱ）求二面角P-DE-A的大小；
（Ⅲ）求点C到平面PED的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中点为G，连结BG，则BG∥ED，从而BG∥平面PDE，再由中位线定理得FG∥PD，从而FG∥平面PDE，进而平面BFG∥平面PDE，由此能证明BF∥平面PED．
（Ⅱ）推导出DE⊥BC，DE⊥AD，DE⊥PD，从而∠PDA是二面角P-DE-A的平面角，由此能求出二面角P-DE-A的大小．
（Ⅲ）点C到平面PDE的距离等于点B、点G到平面PDE的距离，过点G作GH垂直于PD，且与PD交于点H，GH的长为点C到平面PED的距离，由此能求出点C到平面PED的距离．

解答 证明：（Ⅰ）取AD的中点为G，连结BG，则BG∥ED，
∴BG∥平面PDE，
△PAD中，F、G分别为所在边的中点，∴FG∥PD，
∴FG∥平面PDE，
∴平面BFG∥平面PDE，∴BF∥平面PED．
解：（Ⅱ）∵菱形ABCD，∠BAD=60°，
∴△BCD是正三角形，E是BC中点，∴DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴DE⊥PD，
∴∠PDA是二面角P-DE-A的平面角，
在Rt△PAD中，tan∠PDA=$\frac{1}{2}$，
∴二面角P-DE-A的大小为arctan$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）∵BE=CE，BG∥平面PDE，
∴点C到平面PDE的距离等于点B、点G到平面PDE的距离，
过点G作GH垂直于PD，且与PD交于点H，
∵DE⊥AD，DE⊥PD，∴DE⊥平面PAD，∴DE⊥GH，
∴GH⊥平面PDE，
∴GH的长为点C到平面PED的距离，
△PDA中，GH=$\frac{1}{2}×\frac{1×2}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴点C到平面PED的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．