Question

（本题满分15分）已知过点（，0）（）的动直线交抛物线于、两点，点与点关于轴对称．（I）当时，求证：；
（II）对于给定的正数，是否存在直线：，使得被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)见解析  (Ⅱ) 所以当时，存在直线，截得的弦长为，
当时，不存在满足条件的直线

方法一：（I）设，

得
    …………………………………………………………3 分

==0
∴              ………………………………………………6 分
方法二：过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为、，
有
由
∴
∴ ……………………………………………………6 分
（II）设点是轨迹C上的任意一点，则以为直径的圆的圆心为，
假设满足条件的直线存在，直线被圆截得的弦为，则
 

                  ………………10分
弦长为定值，则，即，
此时，                         ………………12分
所以当时，存在直线，截得的弦长为，
当时，不存在满足条件的直线…………………………………………15 分