Question

已知f（x）=a^x+b的图象过点（1，e），其反函数为f^-1（x）过点（1，0），若方程f（x）-kx=0无实根，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：反函数

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由已知列关于a，b的方程组求得a，b的值，得到f（x），利用导数求出该函数过远点的切线的斜率，则使方程f（x）-kx=0无实根的k的取值范围可求．

解答： 解：由f（x）=a^x+b的图象过点（1，e），得
a+b=e  ①，
函数f（x）的反函数f^-1（x）过点（1，0），可得函数f（x）的图象过点（0，1），则
b=0，代入①得：a=e．
∴f（x）=e^x．
方程f（x）-kx=0无实根，即e^x=kx无实根，
由f（x）=e^x．得f′（x）=e^x，
设直线y=kx与f（x）=e^x的切点为（x0，ex0），
则f′(x0)=ex0，
∴过切点的切线方程为y-ex0=ex0（x-x₀），
代入原点坐标得x₀=1．
此时切点为（1，e），
∴k=e．
∴使方程e^x=kx无实根的k的范围是[0，e）．
故答案为：[0，e）．

点评：本题考查了互为反函数的两函数图象间的关系，考查了利用导数求切线的方程，训练了函数零点的判断方法，是中档题．