Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2b_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2 an（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知推导出数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列．从而能求出a_n=n+1．
（2）由a_n=n+1，b_n+1＞b_n恒成立，得3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，从而（-1）^n-1λb_n．

解答： （本题满分12分）
解：（1）由已知，（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），…（2分）
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列．
∴a_n=n+1．…（4分）
（2）∵a_n=n+1，
∴bn=4n+(-1)n-1•λ•2n+1，
要使b_n+1＞b_n恒成立，
∴b_n+1-b_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1•λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．…（6分）
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，
当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，
∴λ＜1．…（8分）
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，
当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2，…（10分）
即-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．
综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．