Question

7．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD和侧面BCC₁B₁都是矩形，E是CD的中点，D₁E⊥CD，AB=2BC=2．
（1）求证：D₁E⊥底面ABCD；
（2）若平面BCC₁B₁与平面BED₁的夹角为$\frac{π}{3}$，求线段D₁E的长．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥CD，AD⊥DD₁，得出AD⊥平面CDD₁C₁，于是AD⊥D₁，E，又D₁E⊥CD，故而D₁E⊥底面ABCD；
（2）取AB中点F，则可证明FC⊥平面BD₁E，以E为原点建立坐标系，设D₁E=a，求出平面平面BCC₁B₁的法向量$\overrightarrow{n}$与平面BED₁的法向量$\overrightarrow{FC}$，令|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{FC}$＞|=$\frac{1}{2}$解出a．

解答 证明：（1）∵底面ABCD和侧面BCC₁B₁都是矩形，
∴AD⊥CD，AD⊥DD₁，
又DD′?平面CDD₁C₁，CD?平面CDD₁C₁，CD∩DD₁=D，
∴AD⊥平面CDD₁C₁，又D₁E?平面CDD₁C₁，
∴AD⊥D₁E，
又D₁E⊥CD，AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，AD∩CD=D，
∴D₁E⊥平面ABCD．
（2）取AB中点F，连接EF，则四边形EFBC是正方形，EF⊥CD．
以E为原点，以EF，EC，ED₁为坐标轴建立空间直角坐标系E-xyz，如图所示：
设D₁E=a，则E（0，0，0），F（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C₁（0，2，a），
∴$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，1，a），$\overrightarrow{FC}$=（-1，1，0）．
设平面BCC₁B₁的法向量为$\overrightarrow{n}$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x=0}\\{y+az=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（0，-a，1）．
∵FC⊥BE，又FC⊥DE，BE∩D₁E=E，
∴FC⊥平面BED₁．
∴$\overrightarrow{FC}$=（-1，1，0）为平面BD₁E的一个法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{FC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{FC}|}$=$\frac{-a}{\sqrt{2}\sqrt{{a}^{2}+1}}$．
∵平面BCC₁B₁与平面BED₁的夹角为$\frac{π}{3}$，∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{FC}$＞|=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$．
即$\frac{a}{\sqrt{2}\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，解得a=1．
∴D₁E=1．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量的应用与二面角的计算，属于中档题．