Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
(2)设数列{c_n}对n∈N^*，均有＋＋…＋＝a_n＋1成立，求c₁＋c₂＋c₃＋…＋c₂₀₁₄的值．

Answer 1

（1）a_n＝2n－1   b_n＝3^n－1
（2）3²⁰¹⁴

解：(1)∵a₂＝1＋d，a₅＝1＋4d，a₁₄＝1＋13d，
∴(1＋4d)²＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2(∵d>0)．
则a_n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
又b₂＝a₂＝3，b₃＝a₅＝9，
∴等比数列{b_n}的公比q＝＝＝3.
∴b_n＝b₂q^n－2＝3×3^n－2＝3^n－1.
(2)由＋＋…＋＝a_n＋1得
当n≥2时，＋＋…＋＝a_n，
两式相减，得＝a_n＋1－a_n＝2，
∴c_n＝2b_n＝2×3^n－1(n≥2)．
而当n＝1时，＝a₂，∴c₁＝3.
∴c_n＝
∴c₁＋c₂＋c₃＋…＋c₂₀₁₄
＝3＋2×3¹＋2×3²＋…＋2×3²⁰¹³
＝3＋
＝3－3＋3²⁰¹⁴
＝3²⁰¹⁴.