已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$长轴的两顶点为A.B.左右焦点分别为F1.F2.焦距为2c且a=2c.过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．(1)求椭圆C的方程,(2)在双曲线$T:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$上取点Q.直线OQ与椭圆C交于点P.若直线AP.BP.AQ.BQ的斜率分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）长轴的两顶点为A、B，左右焦点分别为F₁、F₂，焦距为2c且a=2c，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在双曲线$T：\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$上取点Q（异于顶点），直线OQ与椭圆C交于点P，若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄，试证明：k₁+k₂+k₃+k₄为定值；
（3）在椭圆C外的抛物线K：y²=4x上取一点E，若EF₁、EF₂的斜率分别为${k_1}^′$、${k_2}^′$，求$\frac{1}{{{k_1}^′{k_2}^′}}$的取值范围．

分析（1）由椭圆的通径公式及a=2c，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程方程；
（2）根据直线的斜率公式，求得k₁+k₂=-$\frac{3{x}_{1}}{{2y}_{1}}$，k₃+k₄=$\frac{3{x}_{2}}{2{y}_{2}}$，由$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$共线，则$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，即可求得k₁+k₂+k₃+k₄=0；
（3）EF₁的斜率${k_1}^′$=$\frac{y}{\frac{{y}^{2}}{4}+1}$，（y²＞$\frac{8}{3}$且y≠-2），EF₂的斜率${k_2}^′$=$\frac{y}{\frac{{y}^{2}}{4}-1}$，（y²＞$\frac{8}{3}$且y≠2），则$\frac{1}{{{k_1}^′{k_2}^′}}$=$\frac{{y}^{4}-16}{16{y}^{2}}$，（y²＞$\frac{8}{3}$且y≠±2），根据函数单调性即可求得$\frac{1}{{{k_1}^′{k_2}^′}}$的取值范围．

解答解：（1）由题意a=2c，椭圆的通径丨AB丨=$\frac{{2b}^{2}}{a}$=3，
a²=b²+c²，则a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）由（1）可知：A（-2，0），B（2，0），F₁（-1，0），F₂（1，0），设P（x₁，y₁），
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1$，则x₁²-4=-$\frac{4{y}_{1}^{2}}{3}$，k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{{x}_{1}^{2}-4}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{-\frac{4{y}_{1}^{2}}{3}}$=-$\frac{3{x}_{1}}{{2y}_{1}}$，设Q（x₂，y₂），则$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}-\frac{{y}_{2}^{2}}{3}=1$，则x₁²-4=$\frac{4{y}_{1}^{2}}{3}$，
则k₃+k₄=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{2{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{2}^{2}-4}$=$\frac{2{x}_{2}{y}_{2}}{\frac{4{y}_{2}^{2}}{3}}$=$\frac{3{x}_{2}}{2{y}_{2}}$，
又$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$共线，
∴x₁=λx₂，y₁=λy₂，
∴$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，
k₁+k₂+k₃+k₄=$\frac{3}{2}$（-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$）=0；

（3）设E（$\frac{{y}^{2}}{4}$，y），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{2}{3}}\\{{y}^{2}=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
由E在椭圆C外的抛物线K：y²=4x上一点，则y²＞$\frac{8}{3}$，

则EF₁的斜率${k_1}^′$=$\frac{y}{\frac{{y}^{2}}{4}+1}$，（y²＞$\frac{8}{3}$且y≠-2），EF₂的斜率${k_2}^′$=$\frac{y}{\frac{{y}^{2}}{4}-1}$，（y²＞$\frac{8}{3}$且y≠2）
则${k_1}^′$${k_2}^′$=$\frac{y}{\frac{{y}^{2}}{4}+1}$×$\frac{y}{\frac{{y}^{2}}{4}-1}$=$\frac{{y}^{2}}{（\frac{{y}^{2}}{4}）^{2}-1}$=$\frac{16{y}^{2}}{{y}^{4}-16}$，（y²＞$\frac{8}{3}$且y≠±2）
则$\frac{1}{{{k_1}^′{k_2}^′}}$=$\frac{{y}^{4}-16}{16{y}^{2}}$，（y²＞$\frac{8}{3}$且y≠±2）
令t=y²，（t＞$\frac{8}{3}$且t≠4，）
设f（t）=$\frac{{t}^{2}-16}{16t}$=$\frac{t}{16}$-$\frac{1}{t}$，（t＞$\frac{8}{3}$且t≠4，），求导f′（t）=$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0
∴f（t）在（$\frac{8}{3}$，4），（4，+∞）上单调递增，
∴f（t）的取值范围（-$\frac{5}{24}$，0）∪（0，+∞）
∴$\frac{1}{{{k_1}^′{k_2}^′}}$的取值范围$（-\frac{5}{24}，0）∪（0，+∞）$．

点评本题考查椭圆的标准方程，直线的斜率公式，椭圆及双曲线的性质，函数单调性与导数的关系，考查计算能力，属于中档题．

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科目：高中数学 来源： 题型：选择题

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