Question

2．已知曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[0，2π）上一点P（x，y）到定点M（a，0），（a＞0）的最小距离为$\frac{3}{4}$，则a=$\frac{11}{4}$或$\frac{\sqrt{21}}{4}$．

Answer 1

分析 根据两点之间的距离公式，表示表示出丨PM丨²，利用换元法及二次函数的性质，即可求得a的值．

解答 解：由丨PM丨²=（2cosθ-a）²+sin²θ=3cos²θ-4acosθ+1+a²，
设cosθ=t，t∈[-1，1]，设f（t）=3t²-4at+1+a²，t∈[-1，1]，
由二次函数的性质，对称轴t=$\frac{2a}{3}$，由0＜$\frac{2a}{3}$＜1时，0＜a＜$\frac{3}{2}$，
则当t=$\frac{2a}{3}$时，取最小值为：1-$\frac{{a}^{2}}{3}$，则1-$\frac{{a}^{2}}{3}$=$\frac{9}{16}$，解得：a=±$\frac{\sqrt{21}}{4}$，
由0＜a＜$\frac{3}{2}$，则a=$\frac{\sqrt{21}}{4}$，
当$\frac{2a}{3}$＞1时，即a＞$\frac{3}{2}$，则f（t）在[-1，1]，单调递减，
则当t=1时取最小值，最小值为：a²+4-4a，
∴a²+4-4a=$\frac{9}{16}$，整理得：16a²-64a+55=0，解得：a=$\frac{11}{4}$或a=$\frac{5}{4}$，
由a＞$\frac{3}{2}$，则a=$\frac{11}{4}$，
综上可知：a的值为：$\frac{\sqrt{21}}{4}$或$\frac{11}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{4}$或$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查参数方程的应用，二次函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题．