Question

7．已知函数f（x）=x²（x-3a）+1（a＞0，x∈R）
（1）求函数y=f（x）的极值；
（2）函数y=f（x）在（0，2）上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）若在区间（0，+∞）上存在实数x₀，使得不等式f（x₀）-4a³≤0能成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，根据导数与函数单调性及极值的关系，即可求得函数y=f（x）的极值；
（2）由（1）可知：函数y=f（x）在（0，2）上单调递减，则2a≥2，即可求得a的取值范围；
（3）由题意可知：-4a³≥f（x） _min在（0，+∞）上恒成立，由（1）可知：f（x）的最小值为：-4a³+1，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=x²（x-3a）+1，求导f'（x）=3x（x-2a），令 f'（x）=0，解得x=0或 x=2a．
f（0）=1，f（2a）=-4a³+1．
当a＞0时，2a＞0，当 x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，2a）	2a	（2a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	1	↘	-4a3+1	↗

∴当a＞0时，在x=0处，函数f（x）有极大值f（0）=1；在 x=2a处，函数f（x）有极小值 f（2a）=-4a³+1．
（2）在（0，2）上单调递减，∴2a≥2，即a≥1，
实数a的取值范围[1，+∞）；
（3）依题意在区间（0，+∞）上存在实数x₀，得使得不等式f（x₀）-4a³≤0能成立，则4a³≥f（x₀）在（0，+∞）上成立，
∴4a³≥f（x）_min，由（1）可知：f（x）的最小值为：-4a³+1，
∴4a³≥-4a³+1，则8a³≥1，
解得：a≥$\frac{1}{2}$，
∴实数a的取值范围[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的单调性及极值，考查不等式恒成立，考查转化思想，属于中档题．