Question

（本小题满分12分）已知函数（为自然对数的底数）．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若，函数在上为增函数，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）当时，所以在上为增函数，当时，函数在上为减函数，

所以函数在上为增函数；（2）.

【解析】

试题分析：（1）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（2）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到；（3）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）恒成立，（2）恒成立；（4）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为

当时，，所以在上为增函数；

当时，由得

则：当时，，所以函数在上为减函数，

当时，，

所以函数在上为增函数. 6分

（Ⅱ）当时，，

∵在上为增函数，

在恒成立，

即在恒成立，

令，，

，

令，

在恒成立，

即在单调递增，

即，

即在单调递增，

所以． 12分

考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、函数单调性的应用；3、恒成立的问题.

考点分析： 考点1：导数及其应用 试题属性

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