Question

20．若不等式（a²+a）x²-ax+1＞0对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是{x|-$\frac{4}{3}$＜a＜-1或a=0}．

Answer 1

分析 根据题意，令f（x）=（a²+a）x²-ax+1，分析可得f（x）_min＞0；对二次项系数分2种情况讨论：①、a²+a=0，②、a²+a≠0，结合函数的性质分析可得a的取值范围，综合即可得答案．

解答 解：根据题意，令f（x）=（a²+a）x²-ax+1，
若不等式（a²+a）x²-ax+1＞0对任意实数x都成立，则有函数f（x）_min＞0；
分2种情况讨论：
①、a²+a=0，即a=0或-1时，
其中当a=0时，f（x）=1，不等式为1＞0，恒成立，符合题意；
当a=-1时，不等式为x+1＞0，不符合题意；
②、a²+a≠0，f（x）=（a²+a）x²-ax+1为二次函数；
若函数f（x）_min＞0，必有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a＞0}\\{△={a}^{2}-4（{a}^{2}+a）＜0}\end{array}\right.$，解可得-$\frac{4}{3}$＜a＜-1；
综合可得：实数a的取值范围是{x|-$\frac{4}{3}$＜a＜-1或a=0}；
故答案为：{x|-$\frac{4}{3}$＜a＜-1或a=0}．

点评 本题考查二次函数的性质，涉及不等式的恒成立问题，注意要对二次项系数进行讨论．