Question

已知数列{a_n}满足a_n=2n-1，设函数f（n）=

an，n为奇数 f( n 2 )，n为偶数

，c_n=f（2ⁿ+4），n∈N₊，则f（4）=

 

；设数列{c_n}的前n项和为T_n，则T₁₀=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：根据解析式和a_n=2n-1求出f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1，再由c_n=f（2ⁿ+4）分别求出c₁、c₂，当n≥3时根据自变量是偶数、奇数得：c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1），代入通项公式化简后再求出T₁₀．

解答： 解：由题意得，函数f（n）=

an，n为奇数 f( n 2 )，n为偶数

，且a_n=2n-1，
∴f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1，
又∵c_n=f（2ⁿ+4），n∈N₊，
∴c₁=f（6）=f（3）=a₃=5，c₂=f（8）=f（4）=1，
当n≥3时，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）
=a2n-2+1=2×(2n-2+1)-1=2^n-1+1，
故T₁₀=5+1+（2²+1）+（2³+1）+…+（2⁹+1）
=2¹⁰+10=1034．
故答案为：1；1034．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，数列与函数结合问题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．