Question

已知三条直线l₁：ax+y+1=0，l₂：x+ay+1=0，l₃：x+y+a=0能够围成一个三角形，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线的斜率

专题：直线与圆

分析：三条直线l₁：ax+y+1=0，l₂：x+ay+1=0，l₃：x+y+a=0能够围成一个三角形，则三条直线互不平行且不能相交于同一个点．

解答： 解：①当a=0时，三条直线分别化为l₁：y+1=0，l₂：x+1=0，l₃：x+y=0能够围成一个三角形，因此a=0适合条件；
②当a≠0时，三条直线分别化为l₁：y=-ax-1，l₂：y=-

1

a

x-

1

a

，l₃：y=-x-a，
若能够围成一个三角形，则-a≠-

1

a

，-a≠-1，-

1

a

≠-1，且去掉满足

ax+y+1=0 x+ay+1=0 x+y+a=0

的a的值．
解得a≠1，-1，-2．
综上可得：实数a的取值范围是（-∞，-2）∪（-2，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）．
故答案为：（-∞，-2）∪（-2，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查了直线的相交与平行、组成三角形的条件，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．