Question

若函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

（a-1）x²-2a（a+1）x 在区间（-1，1）上不具有单调性，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求导函数，需要分类讨论，当对称轴在（-1，1）时，只要求f′（

1-a

2

）＜0即可，当当对称轴不在（-1，1）时只要求f′（-1）•f′（1）＜0，分别解不等式，得到a的范围

解答： 解：∵f′（x）=x²+（a-1）x-2a（a+1）=（x+2a）（x-a-1），
∴对称轴为x=

1-a

2

，
当-1＜

1-a

2

＜1时，即-1＜a＜3，要使函数f（x）不具备单调性，
∴f′（

1-a

2

）＜0，
即

(1-a)2

4

-

(1-a)2

2

-2^a-2a＜0，
整理得（3a+1）²＜0，无解，
当-

1-a

2

≥1，或

1-a

2

≤-1时，即a≤-1或a≥3时，
∴f′（-1）•f′（1）＜0，
即（1+1-a-2a²-2a）（1+a-1-2a²-2a）＜0，
整理得，a（2a-1）（a+2）（2a+1）＜0，（*）
当a≥3时，（*）不成立，
当a＜-1时，解得-2＜a≤-1
综上所述实数a的取值范围是（-2，1]

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，培养了学生的分类讨论的能力，运算能力，属于中档题