Question

17．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且A=$\frac{2π}{3}$，b+2c=8，则当△ABC的面积取得最大值时，a的值为2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由题意可得b=8-2c，代入三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c（4-c），由基本不等式可得c和b值，由余弦定理可得a值．

解答 解：∵在△ABC中，A=$\frac{2π}{3}$，b+2c=8，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c（8-2c）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c（4-c）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{c+4-c}{2}$）²=2$\sqrt{3}$，
当且仅当c=4-c即c=2时取等号，此时b=4，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=16+4-2×4×2×（-$\frac{1}{2}$）=28，
开方可得a=2$\sqrt{7}$，
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查余弦定理的应用和三角形的面积计算公式，涉及基本不等式求最值，属中档题．