Question

4．在直角坐标系xoy中，点P到两点（0，$-\sqrt{3}$）、（0，$\sqrt{3}$）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）求C的轨迹方程；
（2）设直线$y=\frac{1}{2}x$与C交于A、B两点，求弦AB的长度．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），运用椭圆的定义，可得2a=4，再由椭圆的a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）设P（x，y），M（0，$-\sqrt{3}$）、N（0，$\sqrt{3}$）
∵|PM|+|PN|=4＞2$\sqrt{3}$=|MN|，
由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以M、N为焦点，长半轴为2的椭圆，
它的短半轴b=$\sqrt{4-3}$=1，
故曲线C的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线$y=\frac{1}{2}x$与C，消去y并整理得$\frac{5}{4}$x²=4，
故x=±$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴有|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=4．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查弦长的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．