Question

2．求下列函数的极值：
（1）y=x³-3x²+7；
（2）y=x-ln（1+x）；
（3）y=x²e^-x．

Answer 1

分析 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）y=x³-3x²+7，
y′=3x²-6x=3x（x-2），
令y′＞0，解得：x＞2或x＜0，
令y′＜0，解得：0＜x＜2，
∴函数在（-∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴x=0时，函数取极大值7，x=2时，函数去极小值3；
（2）y′=1-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{x}{x+1}$，（x＞-1），
令y′＞0，解得：x＞0，令y′＜0，解得：-1＜x＜0，
∴函数在（-1，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴x=0时，函数取极小值0；
（3）y′=xe^-x（2-x），
令y′＞0，解得：0＜x＜2，
令y′＜0，解得：x＞2或x＜0，
∴函数在（-∞，0）递减，在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
∴x=0时，函数取极小值0，x=2时，函数取极大值$\frac{4}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．