Question

15．已知过点 P（1，1）的两条直线斜率均存在，且互相垂直．若这两条直线被圆O：x²+y²=4所截得的弦长之比为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，则这两条直线的斜率之和为$-\frac{8}{3}$或$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 设这两条直线的斜率分别为k、-$\frac{1}{k}$，利用点斜式求得两条弦所在的直线方程，求出各自的弦心距，再结合弦长之比为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，得到关于k的一元二次方程，求出k的值，即可求得方程的两根之和．

解答 解：设这两条直线的斜率分别为k、-$\frac{1}{k}$，
则这两条直线的方程分别为m：y-1=k（x-1），n：y-1=-$\frac{1}{k}$（x-1），
即m：kx-y+1-k=0，n：x+ky-1-k=0．
圆心O到直线m的距离为d=$\frac{|k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，可得弦长为2$\sqrt{4-\frac{（k-1）^{2}}{{k}^{2}+1}}$．
圆心O到直线n的距离为d′=$\frac{|k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，可得弦长为2$\sqrt{4-\frac{（k+1）^{2}}{{k}^{2}+1}}$．
再由弦长之比为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，即可得3k²+10k+3=0．
求得k=-3，或k=-$\frac{1}{3}$，
∴当k=-3时，这两条直线的斜率之和为$-\frac{8}{3}$；当k=-$\frac{1}{3}$时，两条直线的斜率之和为$\frac{8}{3}$．
故答案为：$-\frac{8}{3}$或$\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，韦达定理，弦长公式，属于中档题．